II Quantumgassen

Quantum statistieken

Bose-gas: beschouw een gas van $N$ bosonen in thermisch evenwicht in een volume $V$ . Uit (2.4) volgt de gemiddelde bezetting voor de verschillende 1-deeltje energietoestanden als:

2.5

〈 n_{i} 〉 = \frac{\partial Φ_{i}}{\partial α} = \frac{1}{\exp β (ε_{i} - μ) - 1}

Formule (2.5) met $α = - β μ$ en $β = 1 / T$ staat bekend als de Bose-Einstein-verdeling of -distributie. Men zegt dat bosonen de Bose-Einstein (BE)-statistiek volgen. Deze statistiek werd door Satyendra Nath Bose in 1924 geïntroduceerd voor fotonen en in 1925 door Albert Einstein met Bose gegeneraliseerd naar atomen.
In een Bose-gas kan iedere energietoestand bezet zijn door een willekeurig aantal deeltjes. In het geval dat $ε_{0} \approx μ$ kan het gemiddeld deeltjesaantal $〈 n_{0} 〉$ groot worden. Dit heeft belangrijke fysische consequenties; zie Bose-Einstein condensatie.

Fermi-gas: op dezelfde wijze volgt voor een gas van fermionen in evenwicht dat de gemiddelde bezetting voor de verschillende energietoestanden gegeven wordt door:

2.6

〈 n_{i} 〉 = \frac{\partial Φ_{i}}{\partial α} = \frac{1}{\exp β (ε_{i} - μ) + 1}

Dit is de Fermi-Dirac-verdeling of -distributie, vernoemd naar Enrico Fermi en Paul Dirac die in 1926-1927 dit inzicht ontwikkelden. Men zegt dat fermionen de Fermi-Dirac (FD)-statistiek volgen.
Volgens het Pauli-principe kan geen enkele quantum toestand worden bezet door meer dan één fermion met identieke quantumgetallen. Formule (2.6) is daarmee in overeenstemming want de noemer is altijd groter of gelijk aan één. Dit heeft o.a. tot gevolg dat bij het absolute nulpunt een Fermi-gas een eindige nulpuntsdruk heeft; zie Fermi-energie.