I. Quantumstatistische Theorie

Thermodynamisch evenwicht

Als de informatie over een gegeven veel-deeltjessysteem zeer beperkt is, moet men optimaal gebruik maken van de informatie die voorhanden is. Dit betreft in het bijzonder een systeem in thermodynamisch evenwicht. Een dergelijk systeem wordt gekarakteriseerd door zijn extensieve behouden grootheden, in de eerste plaats de energie zijnde de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan van het systeem

1.11

E : = Tr\hat{ρ}\hat{H}

en een eindig aantal $a = 1,2,..$ andere behouden grootheden

1.12

Q_{a} : = {Tr\hat{ρ}\hat{Q}}_{a}

In de thermodynamica van macroscopische systemen wordt aangenomen dat deze variabelen een volledige beschrijving geven van de evenwichtstoestand, d.w.z. gegeven de verwachtingswaarden ${E, Q_{a}}$ is er een unieke evenwichtstoestand ${\hat{ρ}}_{eq}$ . In deze toestand is de entropie maximaal. In de quantumstatistische mechanica identificeert men deze evenwichtsentropie met de von Neumann-entropie

1.13

S [{\hat{ρ}}_{eq}] = - {Tr\hat{ρ}}_{eq} \log {\hat{ρ}}_{eq}

Aangezien de evenwichtsentropie maximaal moet zijn, concluderen we dat de distributie van waarschijnlijkheden ${p_{i}}$ in de dichtheidsoperator ${\hat{ρ}}_{eq}$ zo gelijk mogelijk moet zijn. Met andere woorden, de quantum toestand van een systeem in evenwicht is maximaal gemengd.
Deze conclusie wordt wel geformuleerd als het maximum entropie principe. Dat is het postulaat van apriori gelijke kansen als er geen andere informatie beschikbaar is.