I. Quantumstatistische Theorie

Entropie van spintoestanden

Ter illustratie van de entropiedefinitie van von Neumann, hieronder twee voorbeelden van A. een zuivere toestand en B een gemengde toestand.

A. De spin-up toestand $| 1 〉$ van een spin-half deeltje, zie QM, is een voorbeeld van een zuivere toestand corresponderend met de dichtheidsoperator (-matrix)

1.6

\hat{ρ} = | 1 〉 〈 1 | ρ = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Met deze dichtheidsoperator (-matrix) berekenen we de verwachtingswaarde van de spin-polarisatie langs de z-as:

1.7

Tr ({\hat{ρ}\hat{σ}}_{z}) = 1 Tr (ρ σ_{z}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = 1

Dit is te verwachten aangezien de toestand spin-up per definitie een eigenfunctie is van de spin-operator in de z-richting. De von Neumann-entropie voor deze zuivere toestand is :

1.8

S (ρ) = - \sum_{n} w_{n} \log w_{n} = - \log 1 = 0

De von Neumann-entropie van een zuivere quantumtoestand is nul omdat geen andere (verborgen) informatie aanwezig is.

B. Een polarisatietoestand met 50% spin-up en 50% spin-down is een voorbeeld van een gemengde toestand . De corresponderende dichtheidsoperator (-matrix) is:

1.9

\hat{ρ}= \frac{1}{2} (| 1 〉 〈 1 | + | - 1 〉 〈 - 1 |) ρ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

De verwachtingswaarde langs de z-as is nul omdat er evenveel spin-up als spin-down deeltjes zijn. De von Neumann-entropie voor deze gemengde toestand Is

1.10

S (ρ) = - \sum_{n} w_{n} \log w_{n} = - 2 (\frac{1}{2} \log \frac{1}{2}) = \log 2

Het resultaat (1.10) correspondeert met de informatie bevat in één bit (Claude Shannon, 1948).
Voor een gemengde toestand van $N$ zuivere toestanden met gelijke kansen generaliseert (1.10) naar $S (ρ) = \log N$ . De von Neumann-entropie is maximaal voor deze maximaal gemengde toestand.