I. Quantumstatistische Theorie

Entropie van spintoestanden

  • De entropiedefinitie van von Neumann kan worden toegepast op willekeurige quantumtoestanden, dus ook op spintoestanden.
  • De von Neumann entropie is maximaal voor een maximaal gemengde toestand.

Ter illustratie van de entropiedefinitie van von Neumann, hieronder twee voorbeelden van A. een zuivere toestand en B een gemengde toestand.

A. De spin-up toestand |1〉 van een spin-half deeltje, zie QM, is een voorbeeld van een zuivere toestand corresponderend met de dichtheidsoperator (-matrix)

1.6

ρ^ =|1〉〈1|    ρ=( 1 0 0 0 )

Met deze dichtheidsoperator (-matrix) berekenen we de verwachtingswaarde van de spin-polarisatie langs de z-as:

1.7

Tr( ρ^ σ^ z )=1    Tr( ρ σ z )=( 1 0 0 0 )( 1 0 0 −1 )=1

Dit is te verwachten aangezien de toestand spin-up per definitie een eigenfunctie is van de spin-operator in de z-richting. De von Neumann-entropie voor deze zuivere toestand is :

1.8

S(ρ)=− ∑ n w n log w n =−log1=0
  • De von Neumann-entropie van een zuivere quantumtoestand is nul omdat geen andere (verborgen) informatie aanwezig is.

B. Een polarisatietoestand met 50% spin-up en 50% spin-down is een voorbeeld van een gemengde toestand . De corresponderende dichtheidsoperator (-matrix) is:

1.9

ρ^  = 1 2 ( |1〉〈1|+| −1〉〈 −1| )    ρ= 1 2 ( 1 0 0 1 )

De verwachtingswaarde langs de z-as is nul omdat er evenveel spin-up als spin-down deeltjes zijn. De von Neumann-entropie voor deze gemengde toestand Is

1.10

S(ρ)=− ∑ n w n log w n =−2( 1 2 log 1 2 )=log2
  • Het resultaat (1.10) correspondeert met de informatie bevat in één bit (Claude Shannon, 1948).
  • Voor een gemengde toestand van N zuivere toestanden met gelijke kansen generaliseert (1.10) naar S(ρ)=logN . De von Neumann-entropie is maximaal voor deze maximaal gemengde toestand.