III. Quantumstatistische modellen

Foton-gas

Met het gegeven $g_{4} (1) = ζ (4) = π^{4} / 90$ , zie (2.17), kan de integraal voor de totale energiedichtheid (3.6) expliciet berekend worden:

3.8

e (T) = 8 π \frac{T^{4}}{h^{3} c^{3}} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{8 π^{5}}{15} \frac{T^{4}}{h^{3} c^{3}}

Het resultaat is in overeenstemming met de wet van Stefan-Boltzmann:

3.9

e (T) = \frac{4 σ}{c} T^{4} σ = \frac{2 π^{5}}{15 h^{3} c^{2}}

De fenomenologische constante van Stefan-Boltzmann $σ$ is hiermee herleidt tot een combinatie van twee fundamentele natuurconstanten, de lichtsnelheid en de constante van Planck.

Ten slotte berekenen we de stralingsdruk. De basisformules hiervoor zijn (2.4) en de integratieregel (2.12). Net als in (3.8) kiezen we de integratie variabele $x = β ℏ c k$ . Zo vinden we voor de stralingsdruk de uitdrukking

3.10

P (T) = - 8 π \frac{T^{4}}{h^{3} c^{3}} \int_{0}^{\infty} d x x^{2} \log (1 - e^{- x})

Na een partiële integratie zien we dat de druk en de energiedichtheid van een foton-gas voldoen aan de toestandsvergelijking

3.11

P (T) = \frac{1}{3} e (T) = \frac{4 σ}{3 c} T^{4}

Algemeen geldt voor een ideaal gas van massaloze deeltjes dat de druk één-derde is van de energiedichtheid.
De stralingsdruk wordt pas bij extreem hoge temperaturen $T / k_{B} \sim 10^{7} K$ merkbaar. In energie-eenheden is dit ongeveer $1 KeV$ .