III. Quantumstatistische modellen

Fermi-energie

In de lage-temperatuur limiet $T \to 0$ krijgt de FD-verdeling (2.6) een bijzonder eenvoudige vorm:

3.12

\frac{1}{\exp β (ε - μ) + 1} \to {\begin{cases} 1 ε < μ \\ 0 ε > μ \end{cases}

Men zegt dat het Fermi-gas ontaard is. In dat geval nestelt ieder fermion-deeltje zich in het laagst beschikbare energieniveau. Omdat een energietoestand slechts bezet kan zijn door één fermion (maal het aantal spintoestanden $g = 2 s + 1$ ), vullen de energietoestanden zich op van laag naar hoog. De overgang naar nul bezetting verloopt glad over een energie interval $\sim T$ voor eindige waarden van $β μ$ , maar wordt discontinu bij $T = 0$ .

De energie $ε_{F}$ van de hoogst gevulde toestand wordt de Fermi-energie genoemd. De bijbehorende impuls $ℏ k_{F} = {(2 m ε_{F})}^{1 / 2}$ heet de Fermi-impuls.
In de $k$ -ruimte zijn alle toestanden met $k \leq k_{F}$ gevuld. Dit noemt men de Fermi-zee of de Fermi-bol. De toestanden met $k = k_{F}$ liggen op de rand van de Fermi-bol en vormen het zogenaamde Fermi-oppervlak.

De Fermi-energie kan uitgedrukt worden in de deeltjesdichtheid. Immers, in de limiet $T \to 0$ vinden we uit de deeltjesdichtheid gegeven in (2.14):

3.13

n = \frac{g}{4 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{ε_{F}} d ε ε^{1 / 2} = \frac{g}{6 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} ε_{F}^{3 / 2}

Oplossen naar de Fermi-energie geeft

3.14

ε_{F} = \frac{ℏ^{2} k_{F}^{2}}{2 m} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(\frac{6 π^{2}}{g})}^{2 / 3} n^{2 / 3} k_{F} = {(\frac{6 π^{2}}{g})}^{1 / 3} n^{1 / 3}

De Fermi-energie is een maat voor de energie per deeltje in het systeem en kan opgevat worden als de chemische potentiaal bij $T = 0$ : $μ (T = 0, n) = ε_{F}$ .

De nulpuntsdruk, d.w.z. de druk bij $T = 0$ , wordt op dezelfde wijze berekend als de Fermi-energie. Uit (2.15,16) en (3.13) volgt:

3.15

P_{0} = \frac{g}{6 π^{2}} {(\frac{2 m}{ℏ^{2}})}^{3 / 2} \int_{0}^{ε_{F}} d ε ε^{3 / 2} = \frac{2}{5} n ε_{F}^{}

Gezien het verband (3.14) varieert de nulpuntsdruk met de 5/3- macht van de dichtheid. Omdat de druk van een klassiek gas lineair evenredig is met de dichtheid is er dus een punt waar de druk van een ontaard gas groter wordt dan die van een klassiek gas onder dezelfde omstandigheden.

Zelfs bij temperatuur nul heeft een Fermi-gas een eindige druk die de ontaardingsdruk wordt genoemd. Dit is een rechtstreeks gevolg van het Pauli uitsluitingsprincipe. In de astrofysica wordt hiermee het bestaan van witte dwergen en neutronensterren verklaard.