I. Quantumstatistische Theorie

Quantum-entropie

In de quantumstatistische mechanica wordt de von Neumann-entropie (John von Neumann, 1927) gedefinieerd volgens

1.4

S [\hat{ρ}] : = - Tr\hat{ρ} \log \hat{ρ}

De logaritme van de dichtheidsoperator moet opgevat worden als de formele reeksontwikkeling van de logaritmefunctie.

Het logaritmische verband tussen entropie en waarschijnlijkheid werd in 1877 voor het eerst afgeleid door Ludwig Boltzmann die weinig erkenning vond bij zijn tijdgenoten voor dit fundamentele idee.

Omdat de dichtheidsoperator een positieve hermitische operator is, kan de von Neumann-entropie ook geschreven worden in de vorm

1.5

S [\hat{ρ}] = - \sum_{n} w_{n} \log w_{n}

met $0 \leq w_{n} \leq 1$ de eigenwaarden van de dichtheidsoperator. Formule (1.5) is de quantum-mechanische versie van de Gibbs-formule voor de entropie uit de klassieke statistische mechanica (J. Willard Gibbs, 1902).

Omdat de dichtheidsoperator van een een zuivere toestand idempotent is, kan algemeen bewezen worden dat de von Neumann-entropie van een zuivere toestand gelijk is aan nul. Dit geldt ook als die toestand verstrengeld is.
De von Neumann-entropie van een gemengde toestand daarentegen is altijd groter dan nul en maximaal voor een distributie van gelijke waarschijnlijkheden, zoals kan worden afgeleid uit (1.5).
Strikt genomen is de von Neumann-entropie geen intrinsieke eigenschap van een quantumsysteem, maar een kwantificering van het gebrek aan kennis over de actuele toestand van een beschouwd systeem.