I. Quantumstatistische Theorie

Dichtheidsoperator

In de quantummechanica wordt de beschrijving van een fysisch systeem in essentie gedefinieerd door de Hilbertruimte van toestanden en observabelen. De Schrödingervergelijking bepaalt de tijdontwikkeling van het systeem; zie Synopsis Quantum Mechanica QM. Dit geldt in principe ook voor veel-deeltjes systemen, zoals een quantumgas of een vaste stof.

Afgezien van bijzondere gevallen, is het echter experimenteel onmogelijk om de unieke micro-toestand van een dergelijk systeem vast te stellen. Op basis van de beschikbare informatie kan gewoonlijk slechts een zekere waarschijnlijkheid $p_{i} \geq 0$ , met $\sum_{i} p_{i} = 1$ , toegekend worden aan de mogelijke quantumtoestanden $| ψ_{i} 〉, i = 1,2,.....$ van een veel-deeltjes-systeem. De verwachtingswaarde van een observabele $A$ is dan, bij definitie, het gewogen gemiddelde van de verwachtingswaardes per toestand

1.1

〈 A 〉 : = \sum_{i} p_{i} 〈 ψ_{i} | \hat{A} | ψ_{i} 〉

Met een sommatie over een willekeurige complete verzameling van toestanden $| χ_{m} 〉$ wordt dit herschreven in de vorm:

1.2

〈 A 〉 = \sum_{i, m} p_{i} 〈 χ_{m} | ψ_{i} 〉 〈 ψ_{i} | \hat{A} | χ_{m} 〉 = Tr\hat{ρ}\hat{A}

De notatie Tr staat voor het spoor (Engels: trace). De dichtheidsoperator gedefinieerd als de hermitische operator

1.3

\hat{ρ} : = \sum_{i} | ψ_{i} 〉 p_{i} 〈 ψ_{i} |

is een statistische combinatie van zuivere quantumtoestanden. Men spreekt van een gemengde toestand of ook wel van een ensemble van toestanden. Voor het speciale geval van een zuivere toestand $p_{i} = 1$ voor één enkele waarde van $i$ , reduceert (1.3) tot QM (3.30).

De verzameling van quantumtoestanden $| ψ_{i} 〉$ hoeft noch compleet, noch orthonormaal te zijn.
De dichtheidsoperator is een positieve operator met spoor $Tr\hat{ρ} = 1$ . Dit wordt eenvoudig bewezen met $p_{i} \geq 0$ en $\sum p_{i} = 1$ .
Voor een zuivere toestand geldt dat de dichtheidsoperator idempotent is: ${\hat{ρ}}^{2} = \hat{ρ}$ ; voor een gemengde toestand is ${Tr\hat{ρ}}^{2} < 1$ .