II Quantumgassen

Thermodynamische potentiaal

Met de energie-eigentoestanden $| {n_{i}} 〉,$ gekarakteriseerd door de bezettingsgetallen $n_{i}$ (zie vorige pagina), laat zich het spoor in de uitdrukking (1.27) voor de groot-kanonieke partitiefunctie exact berekenen als

2.3

Z (α, β, V) = \prod_{i} \sum_{n_{i}} \exp n_{i} (- α - β ε_{i})

We onderscheiden twee gevallen:

fermionen: een bezettingsgetal $n_{i}$ kan slechts 0 of 1 zijn.
bosonen: een bezettingsgetal $n_{i}$ kan elke niet-negatieve gehele waarde aannemen. De som in (2.3) loopt van nul tot oneindig. Om de som te laten convergeren, moet voldaan zijn aan de conditie $- α - β ε_{0} < 0$ , ofwel $μ - ε_{0} < 0$ , met $ε_{0}$ de energie van het grondniveau.

In beide gevallen is de reeks over de bezettingsgetallen eenvoudig te sommeren. De twee uitkomsten zijn te combineren in de volgende algemene uitdrukking voor de thermodynamische potentiaal (1.26) van een ideaal quantumgas:

2.4

Φ (α, β, V) = η \sum_{i} \log [1 - η \exp (- α - β ε_{i})]

De thermodynamische potentiaal van een ideaal quantumgas is de som $Φ = \sum Φ_{i}$ van 1-deeltje potentialen voor iedere 1-deeltjetoestand apart.
Het quantum-gedrag van bosonen ( $η = 1$ ) en fermionen ( $η = - 1$ ) verschilt fundamenteel. Een gas van bosonen noemt men een Bose-gas en een gas van fermionen een Fermi-gas.