subsectie alfa-verval

Quantum-tunneling is de basis voor de verklaring door George Gamow in 1928 van het verschijnsel dat zware kernen alfaverval vertonen:¹ $^{A} X_{Z} \to^{A - 4} Y_{Z - 2} +^{4} α_{2}$ Door tunneling kan een alfadeeltje (twee neutronen en twee protonen) zich aan de sterke kracht binnen de atoomkern onttrekken. De aanname is dat in de kern van een radioactieve isotoop een alfadeeltje zich min of meer vrij kan bewegen met dezelfde energie als dat van het uitgezonden alfadeeltje $E_{α} ~ 4 - 9 MeV$ . Het samenspel van kernkracht en de afstotende coulombkracht zorgt voor een potentiaalbarrière. Hoe hoger het atoomnummer $Z$ van de kern, des te hoger is de coulombbarrière.

In het voorbeeld wordt de kern voorgesteld als een rechthoekige energieput $V (r) = - V_{0}$ , $r < R_{0}$ .^1,2 Na verval is de straal van de kern $R_{0} = 1, 25 {(A - 4)}^{1 / 3} \cdot 10^{- 15} m$ met massagetal $A$ . Buiten de kern $r \geq R_{0}$ ondervindt het alfadeeltje de coulomb-afstoting $V_{c} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{2 e^{2} (Z - 2)}{r}$ Voor afstanden groter dan $R_{1}$ bepaald door de vergelijking $V_{c} (R_{1}) = E_{α}$ is de kinetische energie groter dan de potentiële energie en is het deeltje ontsnapt aan de kern.

Formules uit Binas:

\frac{d^{2} ψ (r)}{d r^{2}} + γ (E - V (r)) \cdot ψ (r) = 0

\begin{array}{l} E = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} + V (r) \\ γ = 8 π^{2} \cdot m / h^{2} \end{array}

Differentievergelijkingen:

\begin{array}{l} ψ^{″} = - γ \cdot (E - V) \cdot ψ \\ Δ ψ^{'} = ψ^{″} \cdot Δ r \\ Δ ψ = ψ^{'} \cdot Δ r \end{array}

Oplossing $r < R_{0}$ :

\begin{array}{l} ψ_{1} (r) = A \sin k \cdot r + B \cos k \cdot r \\ k = \sqrt{γ (E + V_{0})} \end{array}

Oplossing $R_{0} < r < R_{1}$ bij benadering:

\begin{array}{l} ψ_{2} (r) ~ \exp - \int_{R_{0}}^{r} κ (\tilde{r}) d \tilde{r} \\ κ (r) = \sqrt{γ (V_{c} (r) - E)} \end{array}

Dimensieloze variabelen:

\begin{array}{l} x = r / R_{0} \\ ψ^{″} \to R_{0}^{- 2} \cdot ψ^{″} \\ u = E_{α} / V_{c} (R_{0}) = R_{0} / R_{1} \\ v = V / V_{c} (R_{0}) \\ γ \to R_{0}^{2} \cdot V_{c} (R_{0}) \cdot γ = 0, 69 {(A - 4)}^{1 / 3} \cdot (Z - 2) \end{array}

Modelregels

\begin{array}{l} 0 \leq x \\ Als x < 1 \\ Dan v = - v_{0} \\ Anders v = 1 / x \\ ψ^{″} = - γ \cdot (u - v) \cdot ψ \\ ψ^{'} = ψ^{'} + ψ^{″} \cdot d x \\ ψ = ψ + ψ^{'} \cdot d x \\ P = ψ^{2} \\ x = x + d x \end{array}

Grafisch model