subsectie deeltje in een doos

Deeltje in een doos

Er zijn meer mogelijke oplossingen. De tweede mogelijkheid is ook getekend in figuur 4.6: een hele golflengte past in de doos. De golflengte is dus twee keer zo klein als die van de grondtoestand. De gemiddelde snelheid is dan twee keer zo groot, en de kinetische energie, die evenredig is met v², vier keer zo groot. De daarop volgende energie is negen keer zo groot als die van de grondtoestand, en dat gaat verder met 16 keer en 25 keer.

Deeltje in een doos

Golflengtes die een geheel aantal malen de minimumgolflengte zijn, passen in de eendimensionale doos:

λ_{n} = \frac{2 L}{n}, met n = 1,2,3, \dots .

Andere golven gaan niet naar nul op de rand en kunnen niet bestaan. Zo is er een beperkt aantal mogelijke energieën die een deeltje in een doos kan hebben. Met $v = h / (m \cdot λ)$ en $E_{kin} = (1 / 2) m \cdot v^{2}$ vind je als mogelijke energieën:

E_{n} = \frac{h^{2} \cdot n^{2}}{8 \cdot m \cdot L^{2}}

Symbolen:

$E_{n}$ is de energie van het deeltje in toestand $n$ in Joule (J) met $n = 1$ de grondtoestand. $L$ is de breedte van de doos in meters (m), $h$ is de constante van Planck, $m$ is de massa van het deeltje in kilogram (kg).

De mogelijke energieën zijn geschetst in figuur 4.7. Als je wilt weten welke fotonen dit systeem zou kunnen absorberen, dan moet je kijken naar de verschillen tussen deze energieën. Als het systeem zich in de grondtoestand ( $n = 1$ ) bevindt, dan kan het een foton met energie $E = E_{2} - E_{1}$ absorberen. Daarmee krijgt het elektron een nieuwe energie $E_{2}$ . Dat is de volgende mogelijke waarde die het kan hebben, overeenkomend met de eerste aangeslagen toestand.

Het foton is dan weg, en het elektron in het doosje is naar de toestand met hogere energie gegaan. In totaal wordt dan aan de wet van behoud van energie voldaan. De energie van het foton komt via

E = h \cdot f

overeen met de frequentie van het licht dat kan worden geabsorbeerd.

Ook absorptie van $E = E_{3} - E_{1}$ is mogelijk, en $E = E_{4} - E_{1}$ . De verschillen in energie tussen de niveaus bepalen dus welke kleuren licht het systeem kan absorberen.

Als het systeem in een aangeslagen toestand is ( $n > 1$ ), zal het na korte tijd weer terugvallen naar de grondtoestand. Daarbij wordt het energieverschil als een foton uitgezonden. Dat foton ontstaat op dat moment. De energie van het foton is weer gelijk aan het energieverschil tussen de aangeslagen toestand en de grondtoestand. Zo bepalen de energieverschillen tussen de niveaus niet alleen het absorptiespectrum maar ook het emissiespectrum, dus de kleuren die een systeem uitzendt.