4.1 Quantumdeeltje in een doosje

De energieën van een elektron in een ééndimensionaal doosje

Als je een deeltje met golfeigenschappen opsluit in een doosje, waarbij er geen krachten werken binnen het doosje, maar oneindige krachten bij de wanden, dan blijft het deeltje zeker binnen het doosje. Er is geen tunneling; we zagen al dat dat niet kan bij een oneindig hoge barrière. Aan de rand van de doos moet de golf dus naar nul gaan, dan komt hij niet buiten de doos en klopt het dat er geen kans is het deeltje buiten de doos aan te treffen.

Hoewel elk atoom driedimensionaal is, doen we net alsof we een elektron hebben dat in één richting zit ingesloten. Veel van wat we zullen vinden voor deze ééndimensionale doosjes blijkt ook te kloppen voor driedimensionale doosjes.

De eerste mogelijke oplossing is dat een halve golflengte past op de breedte van de doos. De situatie is met een stippellijn getekend in figuur 4.6. De breedte van de doos noemen we L. De eerste oplossing komt overeen met de laagste energie, het is de grondtoestand van het systeem. De de broglie-golflengte is dan gelijk aan 2L:

λ= h m·v =2L

Deze grondtoestand is heel anders dan wanneer het deeltje geen golfeigenschappen zou hebben:

  • Ten eerste volgt uit het bovenstaande verband dat het quantumdeeltje altijd een gemiddelde snelheid heeft die groter is dan nul. Hoe kleiner het doosje, hoe groter de gemiddelde snelheid. De Broglies verband tussen de golflengte en de snelheid λ=h/(m⋅v) kunnen we namelijk ook omdraaien: v= h m⋅λ = h 2mL Het deeltje heeft dus altijd een kinetische energie, ook als de temperatuur nul kelvin is. Dit heet de nulpuntsenergie. De waarde van de laagst mogelijke energie is groter als het doosje kleiner is: E kin = 1 2 m⋅ v 2 = h 2 8⋅m⋅ L 2
  • Ten tweede is opmerkelijk dat de kans om het deeltje aan te treffen niet overal binnen de doos even groot is. Zonder golfeigenschappen zou het deeltje stilliggen op een willekeurige plaats in de doos. Rekening houdend met golfeigenschappen krijg je een oplossing die nul is aan de rand en het grootst in het midden. De interpretatie die de quantumtheorie hieraan geeft is dat de kans om het deeltje bij een meting in het midden aan te treffen het grootst is.