subsectie harmonische potentiaal

In model 7.4 is de potentiële energie een rechte put. In veel situaties is het realistischer om te veronderstellen dat omringende atomen een quantumdeeltje binden in een harmonische potentiaalput alsof het deeltje een massa is aan een veer. Voor dit geval kan de 1-dim Schrödingervergelijking analytisch worden opgelost.¹ De discrete energiewaarden worden gevonden als $E_{n} = E_{0} \cdot (2 n + 1) E_{0} = \frac{1}{2} h \cdot f_{v}$ met $n = 0,1,2,..$ en $f_{v} = \sqrt{C / m} / 2 π$ de trillingsfrequentie van een klassiek massa-veersysteem. Uit de analytische oplossing volgt ook dat het systeem een karakteristieke debroglielengte heeft:

λ_{0} = \sqrt{h / (m \cdot f_{v})} / 2 π

De modelregels² worden vereenvoudigd door lengte en energie te schalen met $λ_{0}$ en $E_{0}$ . Door variatie van de variabele $u$ kunnen de discrete energiewaarden numeriek gevonden worden. De voorwaarde is dat de golffuncties bij deze waarden eindig blijven en naar nul gaan ver van de oorsprong. De startwaarde in het voorbeeld hieronder correspondeert met toestand $n = 3$ .

Formules uit Binas:

\frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{8 π^{2} \cdot m}{h^{2}} (E - V (x)) \cdot ψ (x) = 0

V (x) = \frac{1}{2} C \cdot x^{2}

Differentievergelijkingen:

\begin{array}{l} ψ^{″} = - γ \cdot (E - V) \cdot ψ \\ Δ ψ^{'} = ψ^{″} \cdot Δ x \\ Δ ψ = ψ^{'} \cdot Δ x \end{array}

Dimensieloze variabelen:

\begin{array}{l} x \to λ_{0} \cdot x \\ ψ^{″} \to λ_{0}^{- 2} \cdot ψ^{″} \\ u = E / E_{0} \\ γ \to λ_{0}^{2} \cdot E_{0} \cdot γ = 1 \\ V \to (C \cdot λ_{0}^{2} / 2 E_{0}) \cdot x^{2} = x^{2} \end{array}

Modelregels

\begin{array}{l} V = x^{2} \\ Als (links < x) en (x > rechts) \\ Dan \\ ψ^{″} = - γ \cdot (u - V) \cdot ψ \\ d ψ^{'} = ψ^{″} \cdot d x \\ d ψ = ψ^{'} \cdot d x \\ Anders \\ d ψ^{'} = 0 \\ d ψ = 0 \\ EindAls \\ ψ^{'} = ψ^{'} + d ψ^{'} \\ ψ = ψ + d ψ \\ x = x + d x \end{array}

Grafisch model