Extra: Hoe groot is..

De uitdrukking die de kans geeft dat een deeltje naar buiten tunnelt, kunnen we hier niet bewijzen, maar wel aannemelijk maken.

De kans op tunneling

De kans T dat een deeltje binnen een seconde naar buiten tunnelt is:

T = e^{- 2 d \sqrt{(4 π m / h^{2}) (V - E)}}

Symbolen:

d is de breedte van de barrière in meters (m), (V-E) is de hoogte van de barrière min de energie die het deeltje zou hebben zonder quantumeffecten, in Joule (J), h=6,6.10^-34 Js is de constante van Planck, m is de massa in kilogram (kg) en $π = 3,14159...$

Deze kans om te tunnelen T wordt groter als de exponent een minder groot negatief getal wordt. Dat kan op de drie manieren die we eerder zonder formule bespraken:

Een kleinere d, dus een smallere barrière.
Een kleinere m, dus een lichter deeltje dat door de wand wil tunnelen.
Een kleinere V, dus een lagere barrière.

Wat de formule betreft is er ook een vierde manier:

De waarde van de constante van Planck kan niet variëren, maar een grotere waarde van h zou leiden tot een grotere kans om te tunnelen.

Als de kans om te tunnelen voor een elektron in een STM-naaldje bij een bepaalde afstand tussen het naaldje en het oppervlak gelijk is aan 0,001, dan is die kans gelijk aan 0,000001 bij de dubbele afstand. Behalve de d blijft alles in de exponent namelijk gelijk: de hoogte van de barrière V, de massa van het elektron m, de waarde van de constante van Planck h. De exponent als geheel verdubbelt dus. En omdat e^2x gelijk is aan (e^x)² moet je de uitkomst 0,001 die je had ook kwadrateren. Dan krijg je 0,000001. Zo zie je aan de formule dat de tunnelstroom enorm sterk afhangt van de afstand, een feit waar de STM gebruik van maakt om die afstand heel nauwkeurig vast te leggen.

Macroscopisch tunnelen?

Soms wordt net gedaan alsof door quantumtunneling alles mogelijk is, omdat de kans dat het gebeurt T nooit gelijk is aan nul, zelfs niet voor een olifant die door een muur zou tunnelen. Maar als je ziet dat een verdubbeling van de afstand al zorgt dat een kans van 0,001 gelijk wordt aan 0,000001, dan zie je wat er gebeurt als je als afstand de dikte van de muur invult, dus bijvoorbeeld 10 cm in plaats van een nanometer, dat is 100.000.000 keer zo veel als de afstand van een STM-naaldje tot een oppervlak. Dan ga je naar (0,001)100000000. En dat is dan nog maar de kans dat één elektron die afstand aflegt door te tunnelen. Als je ook een massa van 3000 kg invult in plaats van de massa van een elektron, die gelijk is aan:
0,000000000000000000000000000001 kg, dan wordt de uitkomst wel erg klein. Een olifant zal nooit door een muur tunnelen in de levensduur van het heelal. Een olifant heeft een veel te kleine de broglie-golflengte, die gaat niet door een muur heen als hij er op afloopt. Tenminste, niet door te tunnelen.