Voorbeeldtoetsopgave

Quantumtunneling in de biochemie?

Biochemici bestuderen scheikundige reacties in het menselijk lichaam. Bij sommige enzymatische reacties draagt het ene molecuul een waterstofkern over aan het andere. De snelheid waarmee dit gebeurt is belangrijk. De standaardtheorie voor reactiesnelheden werkt met ‘thermische fluctuaties’. De snelheid die in ons geval uit de standaardtheorie volgt, klopt niet met het experiment. Daarom wordt onderzocht of behalve thermische fluctuaties ook quantumtunneling een rol speelt.

1. Noem een voorbeeld van een apparaat of een proces waarbij quantum-tunneling van een elektron plaatsvindt.

De standaardtheorie zonder quantumtunneling luidt als volgt: De waterstofkern heeft een gemiddelde beginpositie in het oorspronkelijke molecuul. Die positie is de plaats van het minimum van de ‘put’ linksonder in figuur 1 (punt A). Door willekeurige bewegingen (‘thermische fluctuaties’) beweegt de waterstofkern een beetje rond die positie. Om verder van het midden van de put te komen, is meer energie nodig. Die energie krijgt de kern doordat alle kernen in het molecuul willekeurige bewegingen uitvoeren en hun energie op willekeurige wijze aan elkaar doorgeven. Af en toe is er een waterstofkern die genoeg energie heeft om zover van het midden terecht te komen dat het op de positie van punt B in figuur 1 terechtkomt: in een andere put, die overeenkomt met een plek in het andere molecuul.

Deze standaardtheorie geeft een andere reactiesnelheid dan de gemeten snelheid. Dit verschil is de reden om te onderzoeken of quantumtunneling ook een rol speelt.

2. Gaat de reactie in het echt sneller dan de standaardtheorie voorspelt, of langzamer? Leg je antwoord uit, geef daarbij aan of de eventuele quantumtunneling de reactie versnelt of vertraagt.

Bij quantumtunneling gedraagt de waterstofkern zich als een quantumdeeltje in een kleine ruimte. Het bijbehorende golfje spreidt zich uit tot de positie van punt B, zodat er een kans is dat het quantumdeeltje uiteindelijk in B wordt waargenomen, zonder dat het genoeg energie heeft gekregen om over de barrière te gaan.

Je kunt een bepaalde grootheid in je experiment variëren om te kijken of tunneling de belangrijkste rol speelt, of toch de thermische fluctuaties uit de standaardtheorie.

3. Welke grootheid kun je variëren om dit onderscheid te maken? Leg in je antwoord uit wat je zult waarnemen in de beide mogelijke gevallen (‘thermische fluctuaties’ en ‘tunneling’).

Een normale waterstofkern bestaat uit een enkel proton. Om verder te kijken naar de rol van tunneling, meet men de reactiesnelheid ook met andere isotopen van waterstof, deuterium en tritium, in plaats van gewoon waterstof. Deuterium en tritium hebben één respectievelijk twee neutronen in de kern. Je kunt waterstof, deuterium en tritium ook noteren als ¹H, ²H en ³H.
In figuur 2 zie je het laagst mogelijke energieniveau van een ¹H kern getekend.

4. Leg uit waarom deze laagst mogelijke energie niet overeenkomt met het minimum van de put.

In de grondtoestand is de kinetische energie van de ¹H kern gelijk aan       5•10^-20 J. Om te berekenen hoe groot de laagst mogelijke kinetische energie van de andere isotopen is, gaan we uit van het model van een rechte eendimensionale doos, waarin steeds een van de deeltjes is opgesloten.

5. Leg met behulp van de formule voor de de brogliegolflengte uit dat in dit model de kernen van alle isotopen in hun grondtoestand dezelfde impuls hebben.
6. Bereken de kinetische energie van een deuterium- en van een tritiumkern in de grondtoestand.

In figuur 3 zijn de golfjes getekend die horen bij de drie isotopen. De put is niet helemaal recht, hij is onderin wat smaller. Daardoor zijn de golfjes niet allemaal even groot.

7. Leg uit dat in dit model zowel de bijdrage aan de reactiesnelheid van de thermische fluctuaties als die van de tunneling verschillend is per isotoop.
8. Leg uit in welk geval de reactie het langzaamst gaat.
9. Leg uit of het verschil in reactiesnelheid tussen isotopen groter is voor thermische fluctuaties of voor tunneling.