4.3 De tweelingparadox

De tweelingparadox laat zien dat tijdsuitrekking een werkelijk effect is: bewegende klokken lopen écht langzamer. Dit feit leidt op zichzelf al tot een paradox: als beweging volgens de relativiteitspostulaten relatief is, zou dat ook moeten gelden voor het langzamer lopen van klokken. Met andere woorden:

Als A's klok langzamer loopt dan die van B, omdat A beweegt ten opzichte van B, kunnen we toch ook zeggen dat de klok van B juist langzamer loopt dan die van A, omdat B in beweging is ten opzichte van A?

In het volgende gedachte-experiment komt deze paradox duidelijk naar voren.

We geven Nora en Vera, twee helften van een identieke tweeling, exact dezelfde klokken die precies gelijk zijn gezet en even snel lopen. Vera gaat daarna op ruimtereis, waarbij ze met grote snelheid een eind door het heelal reist om vervolgens weer naar huis terug te keren. Nora blijft achter. Op een gegeven moment komt Vera thuis. Omdat zij in beweging was, heeft haar klok minder snel gelopen en is er voor haar minder tijd verstreken dan voor haar geliefde zuster op aarde. Bij thuiskomst blijkt dat Nora veel ouder is geworden dan zij; als ze erg lang is weggebleven en snel genoeg heeft gereisd, kan het zelfs zijn dat Nora allang is overleden. Dat is pas drama!

Is dit briljante fictie of bikkelharde realiteit? En als het echt kan, hoe valt de asymmetrie ervan dan te rijmen met het relativiteitspostulaat? Welnu, het antwoord luidt: ja, het kan echt. De asymmetrie wordt duidelijk als je goed kijkt naar de schematische weergave van het reisavontuur in figuur 4.3.

De waarnemer op de zwarte w-tijdas is natuurlijk Nora, die thuis op haar plek blijft, wachtend op haar zus. De reis van Vera in het rode ruimteschip bestaat uit twee symmetrische delen: eerst beweegt ze zich met een snelheid v van de aarde af, en vervolgens keert ze (bliksemsnel) om en reist ze terug met de snelheid -v. Een eendimensionaal blokje om - iets saaiers lijkt nauwelijks voorstelbaar.

Omdat de tijdsuitrekking alleen afhangt van het kwadraat van de snelheid, loopt haar klok net zoveel langzamer op de heenweg als op de terugweg. Volgens de formule uit paragraaf 4.2 is er op het moment dat er voor Nora bijvoorbeeld t₁ = 30 jaar verstreken is, voor Vera nog maar t'₁ verstreken, gegeven door

$t_{1}^{'} = t_{1} \cdot \sqrt{1 - β^{2}}$

De reizende tweelingzus kan t'₁ zo kort maken als ze wil; ze hoeft alleen maar de juiste snelheid v te kiezen. Als ze bijvoorbeeld reist met v= 2/3 c , wordt $t_{1}^{'} = 0,75 \cdot t_{1}$ en $t_{1}^{'} = 22$ jaar!

Figuur 4.3 maakt duidelijk hoe de asymmetrie ontstaat. Vlak voor ze omkeert, beschouwt Vera w_a nog als gelijktijdig met haar eigen tijd w'₁, maar een ogenblik later is w_b voor haar gelijktijdig geworden. Ze maakt dus op de een of andere manier een sprong in de tijd van w_a naar w_b - of iets geloofwaardiger, als we de knik in de rode wereldlijn bij het omkeerpunt een beetje afronden: dan zwiept Vera razendsnel door de periode tussen w_a en w_b.

Dat is geen relatieve bewering, omdat ze van snelheid verandert. Zij ondergaat een enorme vertraging en dat is een fysisch effect dat ze objectief kan vaststellen, net zoals je meteen voelt wanneer een auto waarin je zit plotseling remt. Haar zus Nora ondergaat geen vertraging, waardoor er een objectieve asymmetrie ontstaat - en daarin ligt de oplossing van de paradox.

Deze dramatische asymmetrie is onontkoombaar als één van de zussen in rust blijft en we erop staan dat er op enig later tijdstip een reünie plaatsvindt. Sommige experts zijn daarom van mening dat het tijdsverschil wordt veroorzaakt door de versnelling, zodat het niet puur een effect van de speciale relativiteit is. Toch hangt het uiteindelijke effect alleen af van de relatieve snelheid tussen beide waarnemers en de duur van de reis. We kunnen een uitstekende benadering van het effect geven met een optelling van kleine segmentjes waarin de ruimtezus zich met verschillende snelheden voortbeweegt ten opzichte van de thuisgebleven tweelingzus. Bovendien heeft het afronden van de scherpe bocht niets te maken met de duur van de reis: we kunnen het effect daarvan zo klein maken als we willen.

Het belangrijkste is dat de tweelingparadox een waarachtig effect is, dat ook proefondervindelijk is bevestigd. In 1971 zijn experimenten uitgevoerd waarin een zeer accurate atoomklok in een vliegtuig met een gemiddelde snelheid van 950 kilometer per uur een reis om de aarde maakte. Daarna was er een miniem maar significant verschil te zien met de verstreken tijd op identieke klokken die in het laboratorium waren achtergebleven, precies in overeenstemming met de formule van Einstein. De berekening voor dit speciale geval dient als illustratie van het meer algemene verschijnsel dat als twee mensen zich langs willekeurige wereldlijnen voortbewegen, degene met de 'langste' wereldlijn het jongst zal blijven.