4.4 Tijdrek bij radioactief verval

Een belangrijke toepassing van de relativiteitstheorie betreft het radioactief verval van een stof in een bewegend stelsel. Van radioactieve stoffen is bekend dat het tempo waarin zij vervallen niet van buitenaf te beïnvloeden is. Dat vervaltempo wordt gekarakteriseerd door de halfwaardetijd T: na een tijd T is het aantal radioactieve kernen gehalveerd.

Laten we het halveringsproces van twee kanten bekijken: eenmaal gaat de radioactieve stof met een snelle trein mee, de tweede keer blijft die in het lab, maar rijdt er een snelle trein langs. Het coördinatenstelsel waarin de stof in rust is, noemen we het ruststelsel. Laat de halveringstijd van de stof in een ruststelsel 5 seconden zijn. De trein rijdt met snelheid 0,6 c. De relativistische snelheidsfactor bedraagt dan

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(0,6)}^{2} c^{2}}{c^{2}}}} = 1,25

De waargenomen halveringstijden zijn dan:

- in de trein (het ruststelsel van de stof) gewoon 5 s,

- maar buiten de trein 5 · 1,25 = 6,25 s.

In de trein speelt het verval zich af. In het ruimtetijdpunt t' = 5 is de helft van de stof vervallen. Dat ruimtetijdpunt heeft in het zwarte stelsel de coördinaat 6,25 s.

De waarnemer buiten de trein verwachtte dat op zijn tijdstip t = 5 s de stof gehalveerd zou zijn. Dat het pas later (op t = 6,25 s) het geval is, brengt hem tot de conclusie: doordat de trein ten opzichte van mij zo'n grote snelheid heeft, spelen de gebeurtenissen zich daarin langzamer af : 'de tijd loopt langzamer dan bij mij'.

Nu laten we het preparaat in het zwarte stelsel rusten en beschouwen we het verval vanuit de trein. In het ruststelsel bedraagt de halveringstijd weer 5 seconden. Hoeveel tijd neemt die halvering in beslag, gezien vanuit de trein? Het ruimtetijdpunt waarbij in figuur 4.4 in het zwarte stelsel een 5 vermeld staat, heeft in het rode stelsel een tijdcomponent die je weer vindt door evenwijdig aan de x'-as een lijn te trekken vanuit het bedoelde punt. Die rode stippellijn snijdt de tijd-as van de reiziger op t' = 6,25.
De reiziger concludeert: ik had de halvering op t' = 5 verwacht; het preparaat beweegt ten opzichte van mij en blijkbaar leidt dit tot een trager verloop van de gebeurtenissen.

De situaties, bezien vanuit het zwarte en rode stelsel, zijn volkomen gelijk: als een stelsel ten opzichte van jou beweegt, loopt vanuit jou gezien de tijd in dat andere stelsel langzamer.

Kijk eens naar drie mensen, Albert, Bob en Charlotte. Zij zijn allen even oud; Albert en Charlotte wonen vlak bij elkaar, Bob woont op een andere planeet, 3 lichtjaren verwijderd.

Charlotte gaat bij Bob op bezoek; zij reist met snelheid 0,6 c van Albert naar Bob. Als Charlotte bij Bob arriveert is zij jonger dan beide anderen. Berekening leert dat

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - {(0,6)}^{2}}} = \frac{5}{4}

Bob en Albert berekenen dat Charlotte 3/0,6 = 5 jaar over de reis doet. In hun 5 jaar echter is Charlotte slechts 5/γ = 4 jaar ouder geworden.

Maar - zou je nu ook niet langs de volgende lijn kunnen redeneren: beweging is relatief, dus Charlotte mag van zichzelf zeggen dat zij stil staat en dat Bob op haar afkomt (en Albert van haar weg gaat). Gegeven het feit dat Bob met snelheid 0,6 c op Charlotte afvliegt, kan zij berekenen dat hij 5 jaar over de reis zal doen. Als zij bij elkaar komen verwacht Charlotte daarom dat zij 5 jaar ouder is geworden, en kan zij berekenen dat Bob jonger is gebleven.

Afbeelding — Figuur 4.6 Charlotte's reis vanuit Bob's perspectief

Hun meningsverschil komt voort uit het feit dat je niet alleen door de ruimte reist, maar door ruimtetijd. En de reis van Bob naar Charlotte toe is niet zonder meer het tegengestelde van de reis die Charlotte maakte. Dit wordt hieronder toegelicht aan de hand van ruimtetijddiagrammen.

Charlotte reist van ruimtetijdpunt A naar B. Vanuit Charlotte gezien reist Bob en start de onderneming op w'=0; dat is het geval in punt A, en ook in C.

Als zij Bob's reis gaat beschrijven moet zij zeggen dat op w'= 0 Bob zich in ruimtetijdpunt C bevindt en dat in punt B de ontmoeting plaatsvindt.

Terwijl Charlotte van mening is dat Bob gedurende de tijd BC haar nadert, zegt Bob dat Charlotte gedurende de tijd DB hem nadert. Omdat zij ten opzichte van elkaar bewegen zijn ze het oneens over hun tijdstip t=0, wat met zich meebrengt dat zij het ook oneens over de reisduur zullen zijn.

Een zeer directe verificatie van het effect van tijdsuitrekking bieden instabiele elementaire deeltjes, zoals muonen, die spontaan uiteenvallen en dus een beperkte (gemiddelde) levensduur hebben. De gemeten levensduur blijkt inderdaad af te hangen van de snelheid van de vervallende deeltjes ten opzichte van het laboratorium. Deze experimenten leveren een zeer precieze bevestiging op van Einsteins voorspelling.

Verder maken ze duidelijk dat het effect wel degelijk bij de speciale relativiteitstheorie hoort, omdat er in dit geval geen versnelling aan te pas komt en de levensduur toch verschilt in de verschillende stelsels. Dat is mogelijk omdat er in het laboratorium in feite een tijds- en een afstandsmeting wordt uitgevoerd, die wordt vergeleken met een tijdsmeting in het stelsel van het vervallende deeltje, waarbij het deeltje zelf als een klok fungeert. Tijdsuitrekking als gevolg van de speciale relativiteitstheorie, en in het bijzonder de relativiteit van gelijktijdigheid, is dus net zo reëel als de wet die zegt dat een deeltje versnelt als er een kracht op uitgeoefend wordt.

Hoe lang duren de tijdsduren AB, CB en DB? Geldt dit zowel in figuur 4.6 als in figuur 4.7?

T.24

AB duurt 5/(5/4)=4 jaar.

CB duurt 4/(5/4)=3,2 jaar

DB duurt 5 jaar.

Deze antwoorden zijn in beide figuren geldig.