6.4 E = mc2

In de vorige paragraaf hebben we een 'ruimtetijd'-impulsvector (γmc, βγmc) voor massieve deeltjes geïntroduceerd die op natuurlijke wijze volgde uit de relativistische relatie tussen verschillende stelsels. De ruimtecomponent βγmc kunnen we beschouwen als de fysische impuls p, omdat in het limietgeval β = v/c → 0 geldt dat γ → 1, zodat

β γ m c \to β m c = m v

De component $p_{0} = γ m c$ kunnen we met een soortgelijk argument interpreteren als de relativistische generalisatie van de massaparameter mc, en dat is precies wat Einstein voorstelde. Hij definieerde een relativistische massa als

m_{rel} = γ m

die zoals je ziet afhankelijk is van de snelheid.

We hebben hierboven gezien dat de totale relativistische massa, die snelheidsafhankelijk is, behouden blijft. Einstein concludeerde hieruit dat de relativistische energie van een massief deeltje zal worden gegeven door de relatie

\frac{E}{c} = m {}_{rel}c = γ m c

Daarmee komen we tot de opzienbarende conclusie die Einstein als eerste trok, namelijk dat er een verband is tussen de energie en de massa van een deeltje. Dit is de alom gelauwerde vergelijking die de equivalentie van energie en massa tot uitdrukking brengt, en die gekenmerkt wordt door een niet te evenaren eenvoud, kracht en schoonheid.

Zo zijn we met een consequent doorgevoerde logische redenering - die wel uit een respectabel aantal stappen bestond - doorgedrongen tot het revolutionaire inzicht dat massa een bepaalde vorm van energie is. Om de gedachten te bepalen: één gram van een willekeurig gekozen soort materie komt daarbij overeen met zo'n 10¹⁴ Joules, wat vergelijkbaar is met de energie die vrijkwam bij de kernbom op Hiroshima.

Om beter te begrijpen dat $m_{rel} c^{2}$ inderdaad een energie is, helpt het om de uitdrukking γmc² te bekijken voor lage snelheid. Als we aannemen dat β = v/c zeer klein is, kunnen we een benadering geven voor de uitdrukking

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

We passen de formule toe, besproken in de appendix

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot x + ...

Dan vinden we voor de eerste twee termen

γ = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^{2}}{c^{2}} + ...

Voor de relativistische energie levert dit zo op:

m_{rel} c^{2} = γ m c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + ...

De meest rechtse term is de bekende uitdrukking mv²/2 voor de kinetische energie (of bewegingsenergie) van een voorwerp met massa m en snelheid v volgens de theorie van Newton. De relativistische energie van een massief deeltje bij niet al te hoge snelheid bestaat dus uit de bewegingsenergie plus de massa vermenigvuldigd met c².

Wat mag de boven afgeleide formule $E^{} = m_{rel} c^{2} \approx m c^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + ...$ betekenen? Het antwoord van Einstein was: aan de rechterkant staan energieën. Ook de linkerkant moet dan een energie voorstellen.

Deze energie bestaat uit twee bijdragen. De bekende kinetische energie, maar ook een nieuwe term, de rustenergie mc², die niets met de snelheid van het voorwerp van doen heeft. Deze energie is altijd in een voorwerp aanwezig en hangt met de massa van het voorwerp samen. We kunnen zeggen dat het de energie is die het heeft gekost om deze massa te maken. Deze energie zit opgeslagen in iedere massa.

Einstein noemde $m_{rel} = γ m$ de relativistische massa van het lichaam; deze hangt via γ wél van de snelheid af. De massa m hangt niet af van de snelheid en wordt de rustmassa genoemd, omdat dit de waarde van m_rel is voor een stilstaand deeltje.

Hoofdstuk 6. Energie en impuls

6.4 E = mc²