7.3 Impuls en impulsbehoud in de mechanica van Newton

Onder de impuls

\vec{p}

van een lichaam verstaan we het product van zijn massa en zijn snelheid:

\vec{p} = m . \vec{v}

. Deze grootheid blijkt van groot belang bij het beschouwen van botsingen.

Neem twee biljartballen in gedachten, A en B. A botst tegen B en oefent zo een kracht op B uit: ${\vec{F}}_{A op B}$ . Volgens Newtons 3^e wet oefent B een even grote, tegengesteld gerichte, kracht op A uit:

{\vec{F}}_{A op B} = - {\vec{F}}_{B op A}

De kracht van A op B geeft een versnelling aan B; de reactiekracht verandert de snelheid van A:

m_{B} \cdot {\vec{a}}_{B} = {\vec{F}}_{A op B} = - {\vec{F}}_{B op A} =- m_{A} \cdot {\vec{a}}_{A}

Schrijven we $Δ \vec{v} = \vec{a} \cdot Δ t$ en vermenigvuldigen we links en rechts met Δt, dan krijgen we

m_{B} \cdot Δ {\vec{v}}_{B} = - m_{A} \cdot Δ {\vec{v}}_{A}

Dit kun je ook schrijven als

Δ (m_{B} \cdot {\vec{v}}_{B}) = - Δ (m_{A} \cdot {\vec{v}}_{A})

omdat de massa´s bij de botsing niet veranderen. Hier staat dat de impulsen van A en B evenveel veranderen, en dat de impulstoename van B gelijk is aan de impulsafname van A. Je mag dan ook zeggen dat de impulssom onveranderd is gebleven.

Impulsbehoud

Δ {\vec{p}}_{A} + Δ {\vec{p}}_{B} = 0

Dit staat bekend onder de wet van behoud van impuls. Deze wet geldt altijd, onder de voorwaarde dat er geen krachten van buiten werkzaam zijn.

De impulswet geldt zelfs nog algemener dan we afgeleid hebben. Ook als de massa veranderd blijft de impulswet geldig. Neem als voorbeeld een vliegtuig dat massa verliest door verbranding van kerosine. Dat komt omdat de tweede wet van Newton die gewoonlijk geschreven wordt als $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$ , eigenlijk luidt $\vec{F} \cdot Δ t = Δ \vec{p}$ . Voor constante massa is dat hetzelfde, maar niet als de massa kan veranderen. Hieruit kunnen we begrijpen dat impulsbehoud ook geldt in de relativiteitstheorie, hoewel de massa daar geen constante is.

We onderscheiden twee soorten: de centrale botsingen en de niet-centrale. Bij de centrale liggen de snelheidsvectoren van de botsende deeltjes voor en na de botsing op één lijn. Dit zijn de eenvoudigste botsingen, die we hier kort bespreken. We kunnen deze nog in drie categorieën onderverdelen:

De volledig elastische; dat zijn botsingen zonder verlies aan kinetische energie. Ze zijn wiskundig op te lossen door gebruikmaking van zowel de wet van behoud van impuls als de wet van behoud van kinetische energie. Dit soort botsingen komt niet bij biljartballen voor, maar wel op het microniveau van atomen en dergelijke.
De volledig inelastische: hierbij plakken de deeltjes na de botsing aan elkaar en gaan als één geheel verder. Denk aan biljartballen die van stopverf gemaakt zijn. De wet van behoud van impuls gaat hier wel op, die van kinetische energie niet: er is arbeid verricht bij het vervormen van de ballen hetgeen ten koste is gegaan van de kinetische energie.
Alle botsingen die daar tussenin liggen - de botsingen van reële biljartballen bijvoorbeeld.

We beschouwen het allereenvoudigste geval: de centrale botsing die volledig inelastisch is, waarbij de twee botsende deeltjes ook nog even zwaar zijn.

Zijn de snelheden voor de botsing ${\vec{v}}_{A}$ en ${\vec{v}}_{B}$ , dan is de impulssom voor de botsing

\sum \vec{p} = m_{A} \cdot {\vec{v}}_{A} + m_{B} \cdot {\vec{v}}_{B}

De wet van behoud van impuls zegt dat deze som onveranderd blijft. Na de botsing geldt dan

\begin{array}{l} \sum \vec{p} = m_{A + B} \cdot {\vec{v}}_{A + B} \\ = m_{A} \cdot {\vec{v}}_{A} + m_{B} \cdot {\vec{v}}_{B} \end{array}

Omdat m_A = m_B, geldt dat m_A+B = 2m_A; deling door m_A levert dan op:

{\vec{v}}_{A} + {\vec{v}}_{B} = 2 {\vec{v}}_{A+B}

Twee eenvoudige varianten hiervan zijn:

A bewoog, maar B lag stil. Na de botsing bewegen beide (als één geheel) met de halve beginsnelheid van A verder.
A en B bewegen met even grote snelheid op elkaar af: ${\vec{v}}_{A} = - {\vec{v}}_{B}$ . Na de botsing ligt de gevormde combinatie stil.