Bosonen en fermionen

Stel $| 1,2 〉$ is een toestand van twee identieke deeltjes. Dan is de nummering van deze deeltjes een willekeurige afspraak en moet de theorie onveranderd blijven voor een verwisseling van de labels: $| 1,2 〉 = | 2,1 〉$ . In de quantummechanica is dit voorschrift echter te strikt omdat twee dezelfde quantumtoestanden een vrije fasefactor $η = e^{i θ}$ kunnen verschillen: $| 1,2 〉 = η | 2,1 〉$ . Als we nogmaals de labels verwisselen krijgen we $| 1,2 〉 = η^{2} | 1,2 〉$ . We concluderen $η^{2} = 1$ en dus $η = \pm 1$ .

In de quantummechanica zijn er twee klassen van identieke deeltjes: de bosonen beschreven door symmetrische toestanden ( $η = 1$ ) en de fermionen beschreven door antisymmetrische toestanden ( $η = - 1$ ).
Het blijkt dat deeltjes met heeltallige spin bosonen zijn en deeltjes met halftallige spin fermionen. Dit staat bekend als het spin-statistiek theorema.

Stel $| s_{1}, s_{2} 〉 = | s_{1} 〉 | s_{2} 〉$ is een twee-fermion spintoestand. Als de twee fermionen in precies dezelfde toestand zouden zijn wat betreft spin, energie, etc., dan moet bij verwisseling van de labels gelden $| s_{1}, s_{2} 〉 = | s_{2}, s_{1} 〉$ . Maar voor fermionen is de toestand anti-symmetrisch, dus deze toestand kan niet bestaan.

Twee identieke fermionen kunnen niet dezelfde quantumtoestand bezetten. Dat wordt het uitsluitingsprincipe van Pauli genoemd, of kortweg het Pauli-principe of Pauli-verbod (Wolfgang Pauli, 1925). Het uitsluitingsprincipe volgt direct uit de anti-symmetrie van fermiontoestanden.
Het Pauli-principe sluit niet uit dat twee elektronen zich in dezelfde energietoestand kunnen bevinden, mits hun spin verschillend is: de één spin-up de ander spin-down.
Het Pauli-principe verklaart o.a. de schilstructuur van atomen en de structuur van vaste stof. In de astrofysica wordt het bestaan van witte dwergen en neutronensterren hierdoor verklaard.